Método de Euler

El M´etodo de Euler  o de las Tangentes constituye el primer  y m´as sencillo ejemplo de m´etodo num´erico para  la resoluci´on de un problema  de valor inicial:

y0  = f (x, y) ,    y(x0) = y0

donde  suponemos  adem´as  que se verifican  las hip´otesis  del Teorema  de Picard1,  y en consecuencia existe soluci´on u´nica para  el problema.

Interpretando la  e.d.o.    y0   = f (x, y)  como  un  campo  de  direcciones  en  el plano x − y y la condici´on inicial y(x0) = y0  como un punto  (x0, y0) de dicho plano,  podemos aproximar la funci´on soluci´on y(x) por medio de la recta  tangente a la misma que pasa

por ese punto:

y(x) ∼= y0 + f (x0, y0 )(x − x0)

donde  se ha utilizado  que la pendiente  de dicha  tangente es:  m  = y0(x0)  y, en conse- cuencia:  m = f (x0, y0).

Calculamos  as´ı  de manera  aproximada el valor de la soluci´on y en el punto  de abscisa

x1  como:

y(x1) ∼= y1  = y0 + f (x0 , y0)(x1 − x0)

y con este punto  (aproximado) ya calculado,  podemos  repetir  el m´etodo  para  obtener otro punto  aproximado  (x2 , y2) de la forma:

y(x2) ∼= y2  = y1 + f (x1 , y1)(x2 − x1)

y as´ı sucesivamente.

Es  habitual en  este  m´etodo  tomar   abscisas  equiespaciadas,  es  decir,  calcular  la soluci´on  aproximada en puntos  de la forma:   xn  = xn−1 + h  = x0 + nh,  siendo  h  el paso del m´etodo. De esta forma se obtienen  las f´ormulas que nos determinan la soluci´on aproximada en la forma:

xn = xn−1 + h;        yn = yn−1 + f (xn−1, yn−1) h

Desde el punto  de vista  geom´etrico, tenemos  en definitiva  que el M´etodo de Euler aproxima  a la funci´on soluci´on por medio de una  l´ınea poligonal,  la aproximaci´on ser´a tanto peor  cuanto  mayor  sea  en  nu´mero de  pasos,  es decir,  cuanto  m´as “lejos”  nos encontremos  del punto  inicial (x0, y0).  Por  otro lado, el error  ser´a evidentemente tanto mayor cuanto  m´as grande  sea el “paso”  del m´etodo, h.